07.1 多分类函数

7.1 多分类函数

此函数对线性多分类和非线性多分类都适用。

先回忆一下二分类问题，在线性计算后，使用了Logistic函数计算样本的概率值，从而把样本分成了正负两类。那么对于多分类问题，应该使用什么方法来计算样本属于各个类别的概率值呢？又是如何作用到反向传播过程中的呢？我们这一节主要研究这个问题。

7.1.1 多分类函数定义 - Softmax

如何得到多分类问题的分类结果概率值？

Logistic函数可以得到诸如0.8、0.3这样的二分类概率值，前者接近1，后者接近0。那么多分类问题如何得到类似的概率值呢？

我们依然假设对于一个样本的分类值是用这个线性公式得到的：

$$z = x \cdot w + b$$

但是，我们要求 $z$ 不是一个标量，而是一个向量。如果是三分类问题，我们就要求 $z$ 是一个三维的向量，向量中的每个单元的元素值代表该样本分别属于三个分类的值，这样不就可以了吗？

具体的说，假设$x$是一个 (1x2) 的向量，把w设计成一个(2x3)的向量，b设计成(1x3)的向量，则z就是一个(1x3)的向量。我们假设z的计算结果是$[3,1,-3]$，这三个值分别代表了样本x在三个分类中的数值，下面我们把它转换成概率值。

有的读者可能会有疑问：我们不能训练神经网络让它的z值直接变成概率形式吗？答案是否定的，因为z值是经过线性计算得到的，线性计算能力有限，无法有效地直接变成概率值。

取max值

z值是 $[3,1,-3]$，如果取max操作会变成 $[1,0,0]$，这符合我们的分类需要，即三者相加为1，并且认为该样本属于第一类。但是有两个不足：

1. 分类结果是 $[1,0,0]$，只保留的非0即1的信息，没有各元素之间相差多少的信息，可以理解是“Hard Max”；
2. max操作本身不可导，无法用在反向传播中。

引入Softmax

Softmax加了个"soft"来模拟max的行为，但同时又保留了相对大小的信息。

$$a_j = \frac{e^{z_j}}{\sum\limits_{i=1}^m e^{z_i}}=\frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+\dots+e^{z_m}}$$

上式中:

• $z_j$ 是对第 $j$ 项的分类原始值，即矩阵运算的结果
• $z_i$ 是参与分类计算的每个类别的原始值
• $m$ 是总分类数
• $a_j$ 是对第 $j$ 项的计算结果

假设 $j=1,m=3$，上式为：

$$a_1=\frac{e^{z_1}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}}$$

用图7-5来形象地说明这个过程。

图7-5 Softmax工作过程

当输入的数据$[z_1,z_2,z_3]$是$[3,1,-3]$时，按照图示过程进行计算，可以得出输出的概率分布是$[0.879,0.119,0.002]$。

对比MAX运算和Softmax的不同，如表7-2所示。

表7-2 MAX运算和Softmax的不同

输入原始值	MAX计算	Softmax计算
$[3, 1, -3]$	$[1, 0, 0]$	$[0.879, 0.119, 0.002]$

也就是说，在（至少）有三个类别时，通过使用Softmax公式计算它们的输出，比较相对大小后，得出该样本属于第一类，因为第一类的值为0.879，在三者中最大。注意这是对一个样本的计算得出的数值，而不是三个样本，亦即Softmax给出了某个样本分别属于三个类别的概率。

它有两个特点：

1. 三个类别的概率相加为1
2. 每个类别的概率都大于0

Softmax的反向传播工作原理

我们仍假设网络输出的预测数据是 $z=[3,1,-3]$，而标签值是 $y=[1,0,0]$。在做反向传播时，根据前面的经验，我们会用 $z-y$，得到：

$$z-y=[2,1,-3]$$

这个信息很奇怪：

• 第一项是2，我们已经预测准确了此样本属于第一类，但是反向误差的值是2，即惩罚值是2
• 第二项是1，惩罚值是1，预测对了，仍有惩罚值
• 第三项是-3，惩罚值是-3，意为着奖励值是3，明明预测错误了却给了奖励

所以，如果不使用Softmax这种机制，会存在有个问题：

• z值和y值之间，即预测值和标签值之间不可比，比如 $z_0=3$ 与 $y_0=1$ 是不可比的
• z值中的三个元素之间虽然可比，但只能比大小，不能比差值，比如 $z_0>z_1>z_2$，但3和1相差2，1和-3相差4，这些差值是无意义的

在使用Softmax之后，我们得到的值是 $a=[0.879,0.119,0.002]$，用 $a-y$：

$$a-y=[-0.121, 0.119, 0.002]$$

再来分析这个信息：

• 第一项-0.121是奖励给该类别0.121，因为它做对了，但是可以让这个概率值更大，最好是1
• 第二项0.119是惩罚，因为它试图给第二类0.119的概率，所以需要这个概率值更小，最好是0
• 第三项0.002是惩罚，因为它试图给第三类0.002的概率，所以需要这个概率值更小，最好是0

这个信息是完全正确的，可以用于反向传播。Softmax先做了归一化，把输出值归一到[0,1]之间，这样就可以与标签值的0或1去比较，并且知道惩罚或奖励的幅度。

从继承关系的角度来说，Softmax函数可以视作Logistic函数扩展，比如一个二分类问题：

$$a_1 = \frac{e^{z_1}}{e^{z_1} + e^{z_2}} = \frac{1}{1 + e^{z_2 - z_1}}$$

是不是和Logistic函数形式非常像？其实Logistic函数也是给出了当前样本的一个概率值，只不过是依靠偏近0或偏近1来判断属于正类还是负类。

7.1.2 正向传播

矩阵运算

$$z=x \cdot w + b \tag{1}$$

分类计算

$$a_j = \frac{e^{z_j}}{\sum\limits_{i=1}^m e^{z_i}}=\frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+\dots+e^{z_m}} \tag{2}$$

损失函数计算

计算单样本时，m是分类数： $$ loss(w,b)=-\sum_{i=1}^m y_i \ln a_i \tag{3} $$

计算多样本时，m是分类数，n是样本数： $<span><span class="MathJax_Preview">J(w,b) =- \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_{ji} \log a_{ji} \tag{4}</span><script type="math/tex">J(w,b) =- \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_{ji} \log a_{ji} \tag{4}$

如图7-6示意。

图7-6 Softmax在神经网络结构中的示意图

7.1.3 反向传播

实例化推导

我们先用实例化的方式来做反向传播公式的推导，然后再扩展到一般性上。假设有三个类别，则：

$$z_1 = x \cdot w+ b_1 \tag{5} $$ $$ z_2 = x \cdot w + b_2 \tag{6} $$ $$ z_3 = x \cdot w + b_3 \tag{7} $$ $$ a_1=\frac{e^{z_1}}{\sum_i e^{z_i}}=\frac{e^{z_1}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}} \tag{8} $$ $$ a_2=\frac{e^{z_2}}{\sum_i e^{z_i}}=\frac{e^{z_2}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}} \tag{9} $$ $$ a_3=\frac{e^{z_3}}{\sum_i e^{z_i}}=\frac{e^{z_3}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}} \tag{10}$$

为了方便书写，我们令：

$$E ={e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}}$$

$$loss(w,b)=-(y_1 \ln a_1 + y_2 \ln a_2 + y_3 \ln a_3) \tag{11}$$

$$\frac{\partial{loss}}{\partial{z_1}}= \frac{\partial{loss}}{\partial{a_1}}\frac{\partial{a_1}}{\partial{z_1}} + \frac{\partial{loss}}{\partial{a_2}}\frac{\partial{a_2}}{\partial{z_1}} + \frac{\partial{loss}}{\partial{a_3}}\frac{\partial{a_3}}{\partial{z_1}} \tag{12}$$

依次求解公式12中的各项：

$$\frac{\partial loss}{\partial a_1}=- \frac{y_1}{a_1} \tag{13}$$

$$\frac{\partial loss}{\partial a_2}=- \frac{y_2}{a_2} \tag{14}$$

$$\frac{\partial loss}{\partial a_3}=- \frac{y_3}{a_3} \tag{15}$$

$$\frac{\partial a_1}{\partial z_1}=(\frac{\partial e^{z_1}}{\partial z_1} E -\frac{\partial E}{\partial z_1}e^{z_1})/E^2 =\frac{e^{z_1}E - e^{z_1}e^{z_1}}{E^2}=a_1(1-a_1) \tag{16}$$

$$\begin{aligned} \frac{\partial a_2}{\partial z_1}&=(\frac{\partial e^{z_2}}{\partial z_1} E -\frac{\partial E}{\partial z_1}e^{z_2})/E^2 =\frac{0 - e^{z_1}e^{z_2}}{E^2}=-a_1 a_2 \end{aligned} \tag{17}$$

$$\begin{aligned} \frac{\partial a_3}{\partial z_1}&=(\frac{\partial e^{z_3}}{\partial z_1} E -\frac{\partial E}{\partial z_1}e^{z_3})/E^2 =\frac{0 - e^{z_1}e^{z_3}}{E^2}=-a_1 a_3 \end{aligned} \tag{18}$$

把公式13~18组合到12中：

$$\begin{aligned} \frac{\partial loss}{\partial z_1}&=-\frac{y_1}{a_1}a_1(1-a_1)+\frac{y_2}{a_2}a_1a_2+\frac{y_3}{a_3}a_1a_3 \\\\ &=-y_1+y_1a_1+y_2a_1+y_3a_1 \\\\ &=-y_1+a_1(y_1+y_2+y_3) \\\\ &=a_1-y_1 \end{aligned} \tag{19}$$

不失一般性，由公式19可得： $$ \frac{\partial loss}{\partial z_i}=a_i-y_i \tag{20} $$

一般性推导

1. Softmax函数自身的求导

由于Softmax涉及到求和，所以有两种情况：

• 求输出项 $a_1$ 对输入项 $z_1$ 的导数，此时：$j=1, i=1, i=j$，可以扩展到 $i,j$ 为任意相等值
• 求输出项 $a_2$ 或 $a_3$ 对输入项 $z_1$ 的导数，此时：$j$ 为 $2$ 或 $3$, $i=1,i \neq j$，可以扩展到 $i,j$ 为任意不等值

Softmax函数的分子：因为是计算 $a_j$，所以分子是 $e^{z_j}$。

Softmax函数的分母： $$ \sum\limits_{i=1}^m e^{z_i} = e^{z_1} + \dots + e^{z_j} + \dots +e^{z_m} \Rightarrow E $$

• $i=j$时（比如输出分类值 $a_1$ 对 $z_1$ 的求导），求 $a_j$ 对 $z_i$ 的导数，此时分子上的 $e^{z_j}$ 要参与求导。参考基本数学导数公式33：

$$\begin{aligned} \frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}} &= \frac{\partial{}}{\partial{z_i}}(e^{z_j}/E) \\\\ &= \frac{\partial{}}{\partial{z_j}}(e^{z_j}/E) \quad (因为z_i==z_i)\\\\ &=\frac{e^{z_j}E-e^{z_j}e^{z_j}}{E^2} =\frac{e^{z_j}}{E} - \frac{(e^{z_j})^2}{E^2} \\\\ &= a_j-a^2_j=a_j(1-a_j) \\\\ \end{aligned} \tag{21}$$

• $i \neq j$时（比如输出分类值 $a_1$ 对 $z_2$ 的求导，$j=1,i=2$），$a_j$对$z_i$的导数，分子上的 $z_j$ 与 $i$ 没有关系，求导为0，分母的求和项中$e^{z_i}$要参与求导。同样是公式33，因为分子$e^{z_j}$对$e^{z_i}$求导的结果是0：

$$\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}}=\frac{-(E)'e^{z_j}}{E^2} $$ 求和公式对$e^{z_i}$的导数$(E)'$，除了$e^{z_i}$项外，其它都是0： $$ (E)' = (e^{z_1} + \dots + e^{z_i} + \dots +e^{z_m})'=e^{z_i} $$ 所以： $$ \begin{aligned} \frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}}&=\frac{-(E)'e^{z_j}}{(E)^2}=-\frac{e^{z_j}e^{z_i}}{{(E)^2}} =-\frac{e^{z_i}}{{E}}\frac{e^{z_j}}{{E}}=-a_{i}a_{j} \end{aligned} \tag{22}$$

1. 结合损失函数的整体反向传播公式

看上图，我们要求Loss值对Z1的偏导数。和以前的Logistic函数不同，那个函数是一个 $z$ 对应一个 $a$，所以反向关系也是一对一。而在这里，$a_1$ 的计算是有 $z_1,z_2,z_3$ 参与的，$a_2$ 的计算也是有 $z_1,z_2,z_3$ 参与的，即所有 $a$ 的计算都与前一层的 $z$ 有关，所以考虑反向时也会比较复杂。

先从Loss的公式看，$loss=-(y_1lna_1+y_2lna_2+y_3lna_3)$，$a_1$ 肯定与 $z_1$ 有关，那么 $a_2,a_3$ 是否与 $z_1$ 有关呢？

再从Softmax函数的形式来看：

无论是 $a_1,a_2,a_3$，都是与 $z_1$ 相关的，而不是一对一的关系，所以，想求Loss对Z1的偏导，必须把Loss->A1->Z1， Loss->A2->Z1，Loss->A3->Z1，这三条路的结果加起来。于是有了如下公式：

$$\begin{aligned} \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}} &= \frac{\partial{loss}}{\partial{a_1}}\frac{\partial{a_1}}{\partial{z_i}} + \frac{\partial{loss}}{\partial{a_2}}\frac{\partial{a_2}}{\partial{z_i}} + \frac{\partial{loss}}{\partial{a_3}}\frac{\partial{a_3}}{\partial{z_i}} \\\\ &=\sum_j \frac{\partial{loss}}{\partial{a_j}}\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}} \end{aligned}$$

当上式中$i=1,j=3$，就完全符合我们的假设了，而且不失普遍性。

前面说过了，因为Softmax涉及到各项求和，A的分类结果和Y的标签值分类是否一致，所以需要分情况讨论：

$$\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}} = \begin{cases} a_j(1-a_j), & i = j \\\\ -a_ia_j, & i \neq j \end{cases}$$

因此，$\frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}}$应该是 $i=j$ 和 $i \neq j$两种情况的和：

• $i = j$ 时，loss通过 $a_1$ 对 $z_1$ 求导（或者是通过 $a_2$ 对 $z_2$ 求导）：

$$\begin{aligned} \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}} &= \frac{\partial{loss}}{\partial{a_j}}\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}}=-\frac{y_j}{a_j}a_j(1-a_j) \\\\ &=y_j(a_j-1)=y_i(a_i-1) \end{aligned} \tag{23}$$

• $i \neq j$，loss通过 $a_2+a_3$ 对 $z_1$ 求导：

$$\begin{aligned} \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}} &= \frac{\partial{loss}}{\partial{a_j}}\frac{\partial{a_j}}{\partial{z_i}}=\sum_j^m(-\frac{y_j}{a_j})(-a_ja_i) \\\\ &=\sum_j^m(y_ja_i)=a_i\sum_{j \neq i}{y_j} \end{aligned} \tag{24}$$

把两种情况加起来：

$$\begin{aligned} \frac{\partial{loss}}{\partial{z_i}} &= y_i(a_i-1)+a_i\sum_{j \neq i}y_j \\\\ &=-y_i+a_iy_i+a_i\sum_{j \neq i}y_j \\\\ &=-y_i+a_i(y_i+\sum_{j \neq i}y_j) \\\\ &=-y_i + a_i*1 \\\\ &=a_i-y_i \end{aligned} \tag{25}$$

因为$y_j$取值$[1,0,0]$或者$[0,1,0]$或者$[0,0,1]$，这三者加起来，就是$[1,1,1]$，在矩阵乘法运算里乘以$[1,1,1]$相当于什么都不做，就等于原值。

我们惊奇地发现，最后的反向计算过程就是：$a_i-y_i$，假设当前样本的$a_i=[0.879, 0.119, 0.002]$，而$y_i=[0, 1, 0]$，则： $<span><span class="MathJax_Preview">a_i - y_i = [0.879, 0.119, 0.002]-[0,1,0]=[0.879,-0.881,0.002]</span><script type="math/tex">a_i - y_i = [0.879, 0.119, 0.002]-[0,1,0]=[0.879,-0.881,0.002]$

其含义是，样本预测第一类，但实际是第二类，所以给第一类0.879的惩罚值，给第二类0.881的奖励，给第三类0.002的惩罚，并反向传播给神经网络。

后面对 $z=wx+b$ 的求导，与二分类一样，不再赘述。

7.1.4 代码实现

第一种，直截了当按照公式写：

def Softmax1(x):
    e_x = np.exp(x)
    v = np.exp(x) / np.sum(e_x)
    return v

这个可能会发生的问题是，当x很大时，np.exp(x)很容易溢出，因为是指数运算。所以，有了下面这种改进的代码：

def Softmax2(Z):
    shift_Z = Z - np.max(Z)
    exp_Z = np.exp(shift_Z)
    A = exp_Z / np.sum(exp_Z)
    return A

测试一下：

Z = np.array([3,0,-3])
print(Softmax1(Z))
print(Softmax2(Z))

两个实现方式的结果一致：

[0.95033021 0.04731416 0.00235563]
[0.95033021 0.04731416 0.00235563]

为什么一样呢？从代码上看差好多啊！我们来证明一下：

假设有3个值a，b，c，并且a在三个数中最大，则b所占的Softmax比重应该这样写：

$$P(b)=\frac{e^b}{e^a+e^b+e^c}$$

如果减去最大值变成了a-a，b-a，c-a，则b'所占的Softmax比重应该这样写：

$$\begin{aligned} P(b') &= \frac{e^{b-a}}{e^{a-a}+e^{b-a}+e^{c-a}} \\ &=\frac{e^b/e^a}{e^a/e^a+e^b/e^a+e^c/e^a} \\ &= \frac{e^b}{e^a+e^b+e^c} \end{aligned} $$ 所以： $$ P(b) == P(b')$$

Softmax2的写法对一个一维的向量或者数组是没问题的，如果遇到Z是个$M \times N$维(M,N>1)的矩阵的话，就有问题了，因为np.sum(exp_Z)这个函数，会把$M\times N$矩阵里的所有元素加在一起，得到一个标量值，而不是相关列元素加在一起。

所以应该这么写：

class Softmax(object):
    def forward(self, z):
        shift_z = z - np.max(z, axis=1, keepdims=True)
        exp_z = np.exp(shift_z)
        a = exp_z / np.sum(exp_z, axis=1, keepdims=True)
        return a

axis=1这个参数非常重要，因为如果输入Z是单样本的预测值话，如果是分三类，则应该是个 $3\times 1$ 的数组，如果：

• $z = [3,1,-3]$
• $a = [0.879,0.119,0.002]$

但是，如果是批量训练，假设每次用两个样本，则：

if __name__ == '__main__':
    z = np.array([[3,1,-3],[1,-3,3]]).reshape(2,3)
    a = Softmax().forward(z)
    print(a)

结果：

[[0.87887824 0.11894324 0.00217852]
 [0.11894324 0.00217852 0.87887824]]

其中，a是包含两个样本的softmax结果，每个数组里面的三个数字相加为1。

如果s = np.sum(exp_z)，不指定axis=1参数，则：

[[0.43943912 0.05947162 0.00108926]
 [0.05947162 0.00108926 0.43943912]]

A虽然仍然包含两个样本，但是变成了两个样本所有的6个元素相加为1，这不是softmax的本意，softmax只计算一个样本（一行）中的数据。

思考与练习

1. 有没有可能一个样本的三分类值中，有两个或多个分类值相同呢，比如$[0.3,0.3,0.4]$?
2. 遇到这种问题是你打算如何解决？